근의 공식 유도

$ax^2+bx+c=0, (a\neq 0)$

$a=0$ 이면, 1차 방정식이 되므로 $a\neq 0$ 이어야 합니다.
위 2차 방정식의 근의 공식은 다음과 같습니다.

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ , $(b^2-4ac\geq 0)$

이를 흔히 외워서 활용하고 유도하는 것은 소홀한 것이 일반적입니다.
어떻게 유도하는지 보겠습니다.

우선 완전제곱형태의 방정식을 살펴보죠.

$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$

$(x+\frac{a}{2})^2=x^2+ax+(\frac{a}{2})^2$

이를 활용하여 근의 공식을 유도합니다.
위의 2차방정식을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0,(a\neq 0)$

이를 완전제곱근으로 하려면

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2=0$

$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}=0$

$(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}=0$

$(x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

$x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$\therefore x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ , $(b^2-4ac\geq 0)$

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